文／00如是說

各行各業免不了都有一些「專有名詞」，而這些專有名詞總是讓第一次聽到的人倒退之三四五六七八九步。但真正理解之後就會發現很多專有名詞不過就是「把很長很長的解釋想一個名稱簡短化而已」，所以今天就來聊聊大家在說的「演算法」跟「Big O」到底是什麼。

對於專有名詞，除了簡短化的功能，還有增進專業度的功能。下面會示範給大家看一下?。

演算法

什麼是演算法？講白了就是「解決問題的方法」，舉個例子來看一下：

版本 1

老闆：現在有很多大大小小的箱子要裝進貨車裡，請問要怎麼樣最大化地利用空間把全部東西裝進去？

司機：哦！那我們從大箱子開始裝，裝到滿為止，避免後面剩下一堆大箱子卻都沒有足夠的連續空間可以裝。

老闆：是個不錯的方法！

此時這位司機其實已經偷偷使用了演算法了。

版本 2

老闆：現在有很多大大小小的箱子要裝進貨車裡，請問要怎麼樣最大化地利用空間把全部東西裝進去？

司機：哦！那我們可以使用『貪婪演算法』，從大箱子開始裝，裝到滿為止，避免後面剩下一堆大箱子卻都沒有足夠的連續空間可以裝。

老闆：什麼！『貪婪演算法』！小伙子是個人才必須加薪才行！

嗯沒錯，兩個版本是一模一樣的東西，這也就是我說的專有名詞有「提高專業度之功效」。

所以你說演算法有那麼可怕嗎？其實沒有對吧！

貪婪演算法：就是一種在每個步驟都採取最好或最佳狀態的選擇，像上述每次都從最大的開始選就是。

Big O

有了上述的經驗後我們已經不害怕這些名詞了，所以我們接著了解一下所謂的「Big O」是什麼東西。

Big O 說穿了就是拿來衡量演算法好壞的符號，但問題來了，為什麼需要使用這個符號呢？

說到演算法的好壞，第一個想到的應該就是「速度」了吧！而用來衡量速度的單位，通常也就是「時間」了。那這樣就很奇怪了，是什麼原因導致我們不直接用時間來衡量演算法就好，還要搞一個符號出來？

有兩個很重要的因素導致我們沒辦法用時間來判斷：

1. 環境因素的不確定性
2. 電腦的速度太快，樣本數太小分不出快慢

環境因素的不確定性

以前在玩遊戲的時候常常會 Lag 一下對吧！在跑這些演算法的時候也不例外，有時可能是網路問題，也有可能是你電腦 CPU 突然卡住什麼的…種種因素造成每次執行結果都有一定的落差，差到兩倍以上的時間也都滿常見的：

如果是有在刷 LeetCode 的人，就會知道每次送出正確解答的時候，它都會給你執行時間還有該算法快過多少 Percent 的人：

而因為剛剛說到的環境因素，很有可能第一次送出是「faster than 11.87%」，第二次就變成「faster than 87.87%」了。也不是說完全沒參考性，只是可能要多取一些樣本數的平均比較準確一點。如果是想滿足成就感如我，就會多按好幾次直到滿意為止，但如果按了五次還是很低就會承認自己廢，再想其他算法或是去看看別人的答案了?。

電腦的速度太快，樣本數太小分不出快慢

假設現在有一組陣列：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

必須從裡面找出 10，最直覺的方法是什麼？For loop。

如果從頭開始找要找幾次才會找到？

10 次

那如果想到一個超級無敵厲害的演算法，可以用最快的速度找到，是幾次？

1 次

上面只是舉例，想表達的是假設現在電腦 1ms 可以處理 10 次運算，10 次 v.s 1 次，真的感受得出差別嗎？沒辦法對吧！人的反應還沒有那麼快。

而且上面第一種迴圈 Brute-force 解法也有可能很快啊！如果要找的數字不是 10 而是 1 呢？1 次就能找到了，沒有比這個更快的了。

各種情況亂糟糟的一下快一下慢，那到底怎麼分辨演算法的好壞？因此「Big O」就誕生了。

上面說到樣本數太小分不出快慢，但在實際工作案例上，有可能數據非常龐大，而數據龐大到十萬、百萬甚至千萬，演算法的好壞就會有很大的差別，尤其是你剛好碰到最差的情況，就像上面要找的數字在最後一個。

因此 Big O 就是拿來衡量演算法「在龐大的數據中，最差情況下」的優劣。

稍微深入了解一下 Big O

常見的 Big O 有以下幾種：

• O(1)： Constant time
• O(log N)： Iterated logarithmic time
• O(N)： Linear time
• O(N log N)： Linearithmic time
• O(N²)： Quadratic time
• O(2^n)： Exponential time
• O(N!)： Factorial time

速度表示圖如下：

以上面 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] 為例，找每一個數字花的時間都不同，找 1 很快，找 10 很慢，但記住我們剛剛說的「最差情況」。所以我們假設最差狀況是找 10，必須要找 10 次，N 個數字找 N 次，因此我們可以說這種迴圈找法的時間複雜度為：O(N)。

然後當你開始感興趣而去 Google 相關文章的時候可能會看到：

不是說只要「最差情況」嗎？這裡看來還有「平均」跟「最佳」耶！

是的！通常我們考慮的都是最差的狀況，但有一些優秀的演算法只有在極端狀況比其他演算法慢，而極大部分狀況都很優秀，如果因此不使用不就太可惜了嗎？例如：快速排序法 Quicksort。

因此當一種演算法在不同情況有非常大的量級差距的時候，還是會考慮其他狀況的。

像是剛剛說的 Quicksort，如果是針對一個已經排序好的陣列（無論升降序），而每次的 Pivot 都選擇第一個元素就會得到 Worst time complexity: O(N²)。

但上面的狀況是比較少見的，大部分情況都是 O(N log N)，因此這時就會參考 Average time complexity。

Best time complexity 也是相同道理，甚至更少去參考。而大部分的演算法 「最佳」跟「平均」會是相同的。

常數項

看到這裡大家應該也發現了，常數呢？

由於常數的影響比較小，所以是會選擇忽略的。

假設我們令 N 為 100:
N v.s 2N = 100 v.s 200
N v.s N² = 100 v.s 10000

可以看出常數帶來的影響是相對較小的，而且規範要普及化，標準化是必然的，如果把常數項帶進來就會無止盡地鑽牛角尖下去。

假設我們令 N 為 2:
100N v.s N² = 200 v.s 4

變成 N² 比較小了，但 N 只要大於 100 就會是 N 更勝一籌，那如果常數項是 2、3、4…呢？又開始亂糟糟了，但我們一樣記住「在龐大的數據中，最差情況下」這個理念，O(N)絕大多數情況都比O(N²)還要好。

因此統一都會把常數項給忽略掉。

同時出現兩種

如果同時有多種 N 呢？

比如 Bubble sort，比的次數會是 (n - 1) + (n - 2) + (n - 3) +…+ 1 。
得出公式為：n(n - 1) / 2 = (n² - n) / 2
此時忽略常數項後還有 n² - n，一樣記住「最差情況」，因此我們這邊取比較糟糕的 n² 就好，所以 Bubble sort 的 Time complexity 為 O(N²)

以上就是針對演算法跟 Big O 粗略的解釋，希望可以幫助到想要踏入演算法世界的工程師，如果有任何說錯的地方再麻煩留言給我，謝謝！

參考資料

不是說只要「最差情況」嗎？這裡看來還有「平均」跟「最佳」耶！

是的！通常我們考慮的都是最差的狀況，但有一些優秀的演算法只有在極端狀況比其他演算法慢，而極大部分狀況都很優秀，如果因此不使用不就太可惜了嗎？例如：快速排序法 Quicksort。

因此當一種演算法在不同情況有非常大的量級差距的時候，還是會考慮其他狀況的。

像是剛剛說的 Quicksort，如果是針對一個已經排序好的陣列（無論升降序），而每次的 Pivot 都選擇第一個元素就會得到 Worst time complexity: O(N²)。

但上面的狀況是比較少見的，大部分情況都是 O(N log N)，因此這時就會參考 Average time complexity。

Best time complexity 也是相同道理，甚至更少去參考。而大部分的演算法 「最佳」跟「平均」會是相同的。

常數項

看到這裡大家應該也發現了，常數呢？

由於常數的影響比較小，所以是會選擇忽略的。

假設我們令 N 為 100:
N v.s 2N = 100 v.s 200
N v.s N² = 100 v.s 10000

可以看出常數帶來的影響是相對較小的，而且規範要普及化，標準化是必然的，如果把常數項帶進來就會無止盡地鑽牛角尖下去。

假設我們令 N 為 2:
100N v.s N² = 200 v.s 4

變成 N² 比較小了，但 N 只要大於 100 就會是 N 更勝一籌，那如果常數項是 2、3、4…呢？又開始亂糟糟了，但我們一樣記住「在龐大的數據中，最差情況下」這個理念，O(N)絕大多數情況都比O(N²)還要好。

因此統一都會把常數項給忽略掉。

同時出現兩種

如果同時有多種 N 呢？

比如 Bubble sort，比的次數會是 (n - 1) + (n - 2) + (n - 3) +…+ 1 。
得出公式為：n(n - 1) / 2 = (n² - n) / 2
此時忽略常數項後還有 n² - n，一樣記住「最差情況」，因此我們這邊取比較糟糕的 n² 就好，所以 Bubble sort 的 Time complexity 為 O(N²)

以上就是針對演算法跟 Big O 粗略的解釋，希望可以幫助到想要踏入演算法世界的工程師，如果有任何說錯的地方再麻煩留言給我，謝謝！

參考資料

不是說只要「最差情況」嗎？這裡看來還有「平均」跟「最佳」耶！

是的！通常我們考慮的都是最差的狀況，但有一些優秀的演算法只有在極端狀況比其他演算法慢，而極大部分狀況都很優秀，如果因此不使用不就太可惜了嗎？例如：快速排序法 Quicksort。

因此當一種演算法在不同情況有非常大的量級差距的時候，還是會考慮其他狀況的。

像是剛剛說的 Quicksort，如果是針對一個已經排序好的陣列（無論升降序），而每次的 Pivot 都選擇第一個元素就會得到 Worst time complexity: O(N²)。

但上面的狀況是比較少見的，大部分情況都是 O(N log N)，因此這時就會參考 Average time complexity。

Best time complexity 也是相同道理，甚至更少去參考。而大部分的演算法 「最佳」跟「平均」會是相同的。

常數項

看到這裡大家應該也發現了，常數呢？

由於常數的影響比較小，所以是會選擇忽略的。

假設我們令 N 為 100:
N v.s 2N = 100 v.s 200
N v.s N² = 100 v.s 10000

可以看出常數帶來的影響是相對較小的，而且規範要普及化，標準化是必然的，如果把常數項帶進來就會無止盡地鑽牛角尖下去。

假設我們令 N 為 2:
100N v.s N² = 200 v.s 4

變成 N² 比較小了，但 N 只要大於 100 就會是 N 更勝一籌，那如果常數項是 2、3、4…呢？又開始亂糟糟了，但我們一樣記住「在龐大的數據中，最差情況下」這個理念，O(N)絕大多數情況都比O(N²)還要好。

因此統一都會把常數項給忽略掉。

同時出現兩種

如果同時有多種 N 呢？

比如 Bubble sort，比的次數會是 (n - 1) + (n - 2) + (n - 3) +…+ 1 。
得出公式為：n(n - 1) / 2 = (n² - n) / 2
此時忽略常數項後還有 n² - n，一樣記住「最差情況」，因此我們這邊取比較糟糕的 n² 就好，所以 Bubble sort 的 Time complexity 為 O(N²)

以上就是針對演算法跟 Big O 粗略的解釋，希望可以幫助到想要踏入演算法世界的工程師，如果有任何說錯的地方再麻煩留言給我，謝謝！

參考資料

• Time and Space complexity of Quick Sort

這篇文章 那些聽起來很專業的「演算法 Algorithm」跟「Big O notation」到底是什麼？ 最早出現於 科技島-掌握科技新聞、科技職場最新資訊。